线性代数2012年1月真题试题及答案解析(02198)

设方阵A满足A^k=O，对某个正整数k成立。证明：A的特征值一定为0。

设三阶矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量。

求齐次线性方程组的基础解系和通解。

令f(x1,x2,x3)，写出该二次型对应的矩阵，并判断该二次型是否正定。

求矩阵A=的逆矩阵。

设向量组α1=(3,1,2,0), α2=(0,7,1,3), α3=(-1,2,0,1), α4=(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来。

二次型f(x1,x2,x3)=的正惯性指数为_________。

计算行列式。

设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则 =_________。

设α是齐次线性方程组Ax=0的解，而β是非齐次线性方程组Ax=b的解，则A(3α+2β)=_________。

设方阵A有一个特征值为-8，则det(8E+A)= _________。

实数向量空间V=的维数是_________。

设3阶矩阵A=，B为3阶非零矩阵，且AB=O，则t= _________。

设α1=(1，0，1)，α2=(1，1，1)，α3=(0，-1，-1)，则-11α1+14α2+9α3=_________。

设方阵A满足A^k=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A^-1=_________。

设方阵A的行列式为5，P为可逆矩阵，则det(P^-1AP)=_________。

设det(A)=-1,det(B)=2,且A，B为同阶方阵，则det((AB)³)=_________。

以下关于正定矩阵叙述正确的是()

• A.正定矩阵的特征值一定大于零
• B.正定矩阵的行列式一定小于零
• C.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵
• D.正定矩阵的差一定是正定矩阵

设矩阵A=,则与矩阵A相似的矩阵是()

• A.
• B.
• C.
• D.

设三阶方阵A的特征值分别为1/2,1/4,3,则A^-1的特征值为()

• A.2,4,1/3
• B.1/2,1/4,1/3
• C.1/2,1/4,3
• D.2,4,3

二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3)²的矩阵是()

• A.
• B.
• C.
• D.

设α1,α2,…,αk是n维列向量，则α1,α2,…αk线性无关的充分必要条件是()

• A.向量组α1,α2,…,αk中任意两个向量线性无关
• B.存在一组不全为0的数l₁,l₂,…,l_k,使得l_1α1+l_2α2+…+l_kαk≠0
• C.向量组α1,α2,…,αk中存在一个向量不能由其余向量线性表示
• D.向量组α1,α2,…,αk中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

设α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),其中a1,a2,a3不全为0,且b1,b2,b3不全为0,则α^Tβ的秩为()

• A.0
• B.1
• C.2
• D.3

设矩阵A1,A2均为可逆方阵，则以下结论正确的是()

• A.
• B.
• C.
• D.

设矩阵A,B,X为同阶方阵，且A,B可逆，若A(X-E)B=B,则矩阵X=()

• A.E+A^-1
• B.E+A
• C.E+B^-1
• D.E+B

设矩阵A是2阶方阵，且det(A)=3，则det(5A)=()

• A.3
• B.15
• C.25
• D.75

若矩阵A满足A²-5A=E，则矩阵(A-5E)^-1=()

• A.A-5E
• B.A+5E
• C.A
• D.-A