线性代数2013年1月真题试题及答案解析(02198)

设A为非零方阵，若存在正整数m，使A^m=O，证明A必不能相似于对角矩阵。

已知A=的一个特征向量是=(1，1，-1)^T

(1)求a，b;

(2)求A的全部特征值及特征向量。

求正交变换X=PY，化二次型f (x₁,x₂,x₃)=-2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃为标准形。

求向量组的一个最大无关组，并把其余向量表示为这个最大无关组的线性组合。

设四元方程组，问t取何值时该方程组有解?并在有解时求其通解。

二次型f(x₁，x₂，x₃)=(x_1-x₂+x₃)²对应的对称矩阵是_________。

设A=，B是三阶方阵，且满足AB-A²=B-E，求B。

计算四阶行列式。

若A=与B=相似，则x=__________。

若三阶矩阵A的特征值分别为1,2,3，则|A+2E|=____________。

三元方程组的通解是________。

设A=,则A的特征值是____________。

设三阶方阵A=[α₁, α₂, α₃]，其中α_i为A的3维列向量，且|A|=3，若B=[α₁,α₁+α₂,α₁+α₂+α₃]，则|B|=_________。

设A=，且r (A)=2，则t=_____________。

设A=，则A^-1=________________。

四阶行列式中项a₂₁a₃₂a₁₃a₄₄的符号为_____________。

设A、B均为三阶可逆方阵，且|A|=2，则|-2B^-1A²B|=__________。

对称矩阵A=是()

• A.负定矩阵
• B.正定矩阵
• C.半正定矩阵
• D.不定矩阵

若α=(1，1，t)与β=(1，1，1)正交，则t=()

• A.-2
• B.-1
• C.0
• D.1

齐次方程x1+x2-x3=0的基础解系所含向量个数是()

• A.0
• B.1
• C.2
• D.3

若3阶方阵A与对角阵相似，则下列说法错误的是()

• A.|A|=0
• B.|A+E|=0
• C.A有三个线性无关特征向量
• D.r(A)=2

设向量空间V={ (x1，x2，x3)|x1+x2+x3=0}，则V的维数是()

• A.0
• B.1
• C.2
• D.3

若同阶方阵A与B等价，则必有()

• A.|A|=|B|
• B.A与B相似
• C.r(A)= r(B)
• D.

设α1= (1，0，0)、α2=(2，0，0)、α3=(1，1，0)，则()

• A.α1, α2, α3线性无关
• B.α3可由α1, α2线性表示
• C.α1可由α2, α3线性表示
• D.α1, α2, α3的秩等于3

设A为三阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=()

• A.-16
• B.-4
• C.4
• D.16

设A、B为同阶方阵，则必有()

• A.|A+B|=|A|+|B|
• B.AB=BA
• C.(AB)^T=A^TB^T
• D.|AB|=|BA|

设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，则必有()

• A.ACB=E
• B.CBA=E
• C.BCA=E
• D.BAC=E