线性代数(经管类)2012年4月真题试题及答案解析（04184）

设A为m*n实矩阵，A^TA为正定矩阵.证明：线性方程组Ax=0只有零解.

已知向量α₁=(1,1,1)^T，求向量α₂,α₃,使α₁,α₂,α₃,两两正交.

求线性方程组.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)

设A=，矩阵X满足关系式A+X=XA,求X.

设均为4维列向量，A=()和B=()为4阶方阵.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.

已知向量组α₁=(1,2,1,1)^T,α₂=(2,0,t,0)^T,α₃=(0,4,5,2)^T,α₄=(3,2,t+4,-1)^T(其中t为参数)，求向量组的秩和一个极大无关组.

二次型f=经正交变换可化为标准形.

计算行列式D=

设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则|A|=_________.

二次型f=的正惯性指数为_________.

设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A^*必有一个特征值为_________.

非齐次线性方程组Ax =b的增广矩阵经初等行变换化为，则方程组的通解是 .

设η₁,η₂是5元齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则r(A)=_____.

设矩阵A=，B=，则AB=  .

向量组α₁=(1,1,1,1),α₂=(1,2,3,4),α₃=(0,1,2,3)的秩为___________.

二次型f(x₁,x₂,x₃)=3x₁²+2x₂²-x₃²是(  )

• A.正定的
• B.负定的
• C.半正定的
• D.不定的

设3阶矩阵A的秩为2，矩阵P=，Q=，若矩阵B=QAP ,则r(B)=_______.

行列式=____________.

若矩阵A与对角矩阵D=相似，则A³=( )

• A.E
• B.D
• C.A
• D.-E

设A是n阶方阵，且|5A+3E|=0，则A必有一个特征值为( )

• A.
• B.
• C.
• D.

齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为( )

• A.1
• B.2
• C.3
• D.4

设4阶矩阵A的秩为3，为非齐次线性方程组Ax =b的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为( )

• A.
• B.
• C.
• D.

设A为3阶矩阵,P =,则用P左乘A，相当于将A( )

• A.第1行的2倍加到第2行
• B.第1列的2倍加到第2列
• C.第2行的2倍加到第1行
• D.第2列的2倍加到第1列

已知4*3矩阵A的列向量组线性无关，则A^T的秩等于( )

• A.1
• B.2
• C.3
• D.4

设A为3阶矩阵，且|A|=3，则=( )

• A.-3
• B.
• C.
• D.3

设行列式,则=(　　)

• A.-12
• B.-6
• C.6
• D.12

设矩阵A=,则A*中位于第1行第2列的元素是(　　　)

• A.-6
• B.-3
• C.3
• D.6