2012年研究生入学考试（数二）真题试卷

已知，二次型f(x₁，x₂，x₃)＝x^T(A^TA)x的秩为2，

(1)求实数a的值；

(2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．

(1)证明方程xⁿ＋x^n-1＋…＋x＝1 (n为大于1的整数)，在区间(1／2，1)内有且仅有一个实根；

(2)记(1)中的实根为x_n，证明存在，并求此极限．

设

(1)计算行列式｜A｜；

(2)当实数a为何值时，方程组Ax＝β有无穷多解，并求其通解．

计算二重积分，其中区域D为曲线r＝1＋cosθ(0≤0≤π)与极轴围成．

已知函数f(x)满足方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0及fˊ(x)＋f(x)＝2e^x，

(1)求f(x)的表达式；

(2)求曲线的拐点．

过(0，1)点作曲线L：y＝lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

已知函数

(1)求a的值；

(2)若x→0时，f(x)－a与x^k是同阶无穷小，求常数k的值．

设A为3阶矩阵，｜A｜＝3，A^*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA^*｜＝________．