设A={1,2,3,4}，给定A上的二元关系R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>}，求R的传递闭包。

将下面命题符号化，并构造推理证明：所有有理数是实数，有些有理数是整数，所以有些实数是整数。

某城市拟在六个区之间架设有线电话网，其网点间的距离如下列有权矩阵给出，请绘出有权图，给出架设线路的最优方案，并计算线路的总长度。

证明整数集Z上的大于等于关系“≥”是一个偏序关系。

设H是G的非空子集，则是群的子群当且仅当对任意a，b∈H有

求的所有生成元及所有2阶、3阶子群，其中⊕为模7乘法。

用矩阵的方法求右图中结点v₁，v₃之间长度为2的路径的数目。

用推理方法证明：

求右图所示格的所有5元和6元子格。

设A={1,2,3,4}，给定A上的二元关系R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>}，求R的传递闭包。

n点完全图记为K_n，那么当________时，K_n是平面图，当_____时，K_n是非平面图。